Непрошенный, мелкий, но раздражающий гость может застять в легких или бронхаха и постоянно раздражать слизистую. 
Совершенно закономерно, что организм пытается избавиться от раздражителя, как это он делает обычно: со слизью, вирусами, бактериями  и продуктами их жизнедеятельсности  в случае с традиционным, а не странным кашлем, "простудным".

Но если методы лечения обычного кашля прописаны и многие мамы знают, что и как давать пить, есть, чем прогревать и когда обращаться к врачу - в общем, как правильно лечить, то с таким вот странным кашлем лучше сразу идти к доктору.

Обязательно в подробностях расскажите, когда усиливается кашель, что провоцирует. Наверняка малыш покашляет и специально для доктора. Ведь инородное тело никуда не делось. Возможно, понадобится и рентген, если есть подозрение, что предмет может быть заменен на снимке. 

Но в любом случае, инородное тело в дыхательных путях требует врачебного вмешательства, часто в условиях стационара. Многое зависит от того, где застрял предмет, для этого и нужен ретнген.

Успех, как всегда, зависит от своевременной диагностики. Поэтому не затягивайте с визитом к врачу.